Tots coneixem el famós teorema de Pitàgores que diu que el quadrat de la hipotenusa d’un triangle rectangle és igual a la suma dels quadrats dels dos altres costats. Hi ha moltíssimes aplicacions i teories que se sustenten en aquest teorema, i per això tots els nens l’aprenen a l’escola.
Ara bé, és realment cert aquest teorema? Quines implicacions tindria que no ho fos? Avui m’agradaria compartir amb tu algunes reflexions sobre aquest tema que tenen importants conseqüències.
És un tema complex que es mereixeria un llibre sencer, però he intentat condensar-lo en un article no massa llarg i que resulti comprensible per a tothom. Espero haver-ho aconseguit, perquè el Teorema de Pitàgores té un missatge ocult molt bonic. I ja és hora que surti a la llum.
Pitàgores Dubtava del Seu Propi Teorema
Sembla ser que el mateix Pitàgores i els seus seguidors van veure de seguida que alguna cosa no rutllava en el teorema que acabaven de descobrir.
Quan fas el triangle rectangle més senzill possible, el que té dos costats iguals de longitud 1, segons el Teorema de Pitàgores la hipotenusa dóna arrel quadrada de 2.
El problema és que √2 és un número dels anomenats “irracionals”, és a dir, que té infinits decimals:
√2 = 1,4142135623730950488016887242096980785696…
Això vol dir que √2 no existeix en la nostra realitat; no es pot dibuixar una línia de longitud √2. En certa manera, es pot dir que el punt on hauria d’acabar una línia de longitud √2 està viu, perquè si l’intentem atrapar, sempre s’escaparà. Sempre hi haurà un decimal més, i això farà que la línia sigui una mica més curta o més llarga de com l’havíem dibuixat.
Els Pitagòrics van pensar de seguida que això no tenia cap sentit. Alguna cosa falla, però d’entrada ningú veia què podia ser.
El Teorema de Pitàgores Demostra que la Realitat No És el que Sembla
Per entendre què falla en el Teorema de Pitàgores, s’ha d’analitzar la seva demostració. I un dels aspectes més importants d’aquesta demostració és que es basa en la geometria Euclidiana.
La geometria Euclidiana és la que ens van ensenyar a tots a l’escola. És la geometria on les rectes són rectes i els quadrats són quadrats, i és la que utilitzem de forma intuïtiva quan analitzem la realitat que ens envolta.
Sense entrar en els detalls de la demostració, el cas és que, en una geometria Euclidiana, el Teorema de Pitàgores és cert. Ara bé, ja hem vist que el Teorema de Pitàgores no es compleix en la realitat, perquè dóna casos que no tenen cap sentit. I això té una conclusió molt simple: la realitat no és Euclidiana.
Com segurament sabràs, hi ha una eina matemàtica molt poderosa que s’anomena “demostració per reducció a l’absurd”. Consisteix en fer una determinada afirmació, i deduir les conseqüències que té. Si les conseqüències són impossibles o absurdes, es dedueix que l’afirmació inicial era falsa.
Doncs el Teorema de Pitàgores és una demostració per reducció a l’absurd que la realitat no és Euclidiana. Si la realitat fos Euclidiana, voldria dir que la hipotenusa d’un triangle rectangle de costat 1 és un número que no existeix en el món real. I això no té sentit.
Si la Realitat No És Euclidiana, Què És?
La geometria Euclidiana se sustenta en cinc postulats; cinc suposicions que, per considerar-se evidents, es van acceptar durant molt temps sense haver-les demostrat de forma rigorosa. Ara bé, el Teorema de Pitàgores indica que la realitat no és Euclidiana, de manera que alguna d’aquestes suposicions ha de ser errònia.
Ja fa temps que molts matemàtics dubten d’aquests postulats, especialment del cinquè. I precisament de suposar que l’últim postulat és fals, es van descobrir altres geometries alternatives, com ara la geometria hiperbòlica.
La geometria hiperbòlica sembla una mica estranya a simple vista, però podria ser perfectament la que segueix el nostre univers. Com a mínim, no queda invalidada pel Teorema de Pitàgores perquè, en aquesta geometria, les rectes, tal i com nosaltres ens les imaginem, desapareixen i passen a ser corbes. El Teorema de Pitàgores deixa de ser correcte, i la hipotenusa d’un triangle rectangle de costats 1 deixa de ser un número irracional. Així que pot ser que la hiperbòlica sigui una geometria vàlida.
El Teorema de Pitàgores ens Diu que la Vida És Eterna
Sigui la realitat hiperbòlica o no, jo crec que, efectivament, les rectes no existeixen. Crec que totes les línies de l’univers són sempre corbes.
A més a més, crec que el grau de curvatura que tenen depèn de la grandària de l’univers: com més s’expandeix l’univers, més rectes semblen les línies. Per aquesta raó, nosaltres no percebem aquesta curvatura. És similar a la sensació que tenim respecte a la Terra: ens sembla plana perquè és molt gran en comparació amb nosaltres. I si es fes més gran, encara ens ho semblaria més.
Doncs l’univers s’està fent més gran constantment, i això dissimula cada vegada més la seva curvatura. L’univers està en contínua expansió, i a mesura que creix, les línies es van tornant més rectes. Això fa que la geometria de la realitat sembli cada vegada més Euclidiana. És a dir, l’univers, en la seva expansió, tendeix a ser Euclidià.
Si aquesta teoria és certa, vol dir que la geometria Euclidiana representa l’univers en la seva màxima expansió: és la geometria perfecta d’un univers acabat. Per aquesta raó ens resulta tan intuïtiva i natural, però també per aquesta raó mai serà una geometria que existeixi en el món real. Perquè l’univers mai arribarà a la seva màxima expansió, sempre podrà expandir-se una mica més.
S’ha de dir que és una sort que sigui així, perquè en cas contrari, voldria dir que la vida podria arribar al final en algun moment. Si l’univers pogués arribar al seu màxim esplendor, tindria data de caducitat.
El número √2 ens està dient precisament que això no passarà mai. Si tingués un número finit de decimals, el resultat del Teorema de Pitàgores no seria absurd, la geometria Euclidiana podria existir, i per tant, l’univers podria arribar en algun moment al seu límit. Però amb la seva seqüència interminable de decimals, el número √2 ens està dient que podem estar tranquils, perquè la vida continuarà per sempre més.
